What's the difference between verbs endind in ~る or ~う and verbs ending in ~ず？ For example: 動く and 動かず。

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まず「動かず」は動詞じゃなく、「動く」の未然形「動か」+否定の助動詞「ず」です
「ず」の意味は「ない」と同じです
「ず」は「ない」と同様、ほぼすべての動詞の未然形に連接します

「る」と「う」の違いということですが、別に動詞の活用はア（ワ）行とラ行に限定されません
例えば「動く」はカ行ですよね？
どの行の活用だから特別ということもありません
多分、上一段・下一段活用のことを「る」で終わる動詞とおっしゃっているのだと思いますが、例えば「狩る」などはラ行ですが、他の行と同様の活用をします
活用に違いがあるのは「る」で終わる動詞ではなく、語尾がイ段にしか活用しない上一段活用動詞（見る、着る、など）と、エ段にしか活用しない下一段活用動詞（食べる、寝る、など）です
あとサ行変格（サ変）活用動詞（する）、カ行変格活用動詞（来る）も特殊ですが、これは上一段・下一段とはまた別の活用です
「う」で終わる動詞と「る」で終わる動詞があるのではなく、「る」で終わる動詞の中に特殊な活用が4種あり、それ以外の動詞は「う」で終わる動詞も「る」で終わる動詞も含めみんな同じ五段活用です
五段活用はその名の通りア段からオ段までまんべんなく活用します
未然形・連用形・終止形・連体形・仮定形・命令形の順に
狩ら（ない）/狩ろ（う）・狩り（ます）・狩る・狩る（とき）・狩れ（ば）・狩れ
上一段はイ段（＋る・れ・ろ）に活用します
見（ない）・見（ます）・見る・見る（とき）・見れ（ば）・見ろ/見よ
下一段はエ段（＋る・れ・ろ）です
寝（ない）・寝（ます）・寝る・寝る（とき）・寝れ（ば）・寝ろ/寝よ
サ変は下記のように四段に活用します
し（ない）/さ（れる）/せ（ぬ）・し（ます）・する・する（とき）・すれ（ば）・しろ/せよ
カ変は三段です
こ（ない）・き（ます）・くる・くる（とき）・くれ（ば）・こい/こよ