以下の文は正しく自然に書かれているか、添削をお願いします。
4. 家より学校までの通学路で桜が満開したことを見て、僕はようやく春が訪れたことを実感しました。
5. 長年恨み続けてきた宿敵を前にして、僕は真剣勝負を申し込みました。（「申し出」でも良いでしょうか？）「申し出」と「申し込み」の使い方がよく紛れます。
6. 街で寒さに震えていた男の子を拾い、養い始めて以来、僕は他にも劣悪な環境に住み、帰れる家もない子たちを助けるために、いろんな団体に寄付し始めました。

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4. 家から学校までの通学路で桜が満開になったのを見て、僕はようやく春が訪れたことを実感しました。
→変更
●『より』→『から』へ変更
→場所は『から』の方が自然な事が多いと思います
●『満開になる』へ
→この文脈では『満開になる』が自然です
→誰かが『満開にする』のを強調して言いたい場合は、『満開にする』も使えます
→例
●この桜は、おじいさんが一生懸命育て、漸く満開にすることができたものなんだ。

5. 長年恨み続けてきた宿敵を前にして、僕は真剣勝負を挑んだ。
→変更
●申し込み、申し出も問題無いないです。違いは@nakamabuchi
さんと同意見です
→真剣勝負は『挑む』がぴったりです(collocation)

6. 街で寒さに震えていた男の子を拾い、養い始めて以来、僕は他にも劣悪な環境に住み、帰れる家もない子たちを助けるために、いろんな団体に寄付し始めました。
→自然です

こんな感じでどうでしょうか？