最近とある小説を読み耽っている。続きが気になって残りの部分を徹夜に読み終わりたいが、眠気が襲いきてまぶたが重くて、読んでいるうちにうっかり寝ってしまった。

以上の短文を修正していただけると嬉しいです。

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‎最近とある小説を読み耽っている。続きが気になって残りの部分を徹夜して読み切りたいが、眠気が襲ってきてまぶたが重くなって、読んでいるうちに寝てしまった。
【徹夜に】
「に」を使うのは、「徹夜になる」の様に状況がそちらの方向に変化する場合に使います。
徹夜をする事を、本を読むための手段として使う場合は「徹夜をして」「徹夜で」を使います。
修正した文「徹夜をしてでも」は「たとえ徹夜になったとしても」に近い意味です。
徹夜をする事を予定しているのではなく、徹夜をするくらい時間がかかっても読み切るという意思を表しています。
もし、単純な予定を表現したいのであれば「徹夜で本を読み切ろうと思った」「徹夜をして本を読み切ろうと思った」という表現が適切です。

【読み終わりたい】
意味は十分通じます。会話などではこの様な表現を使いますが正しい表現とは言えません。
「本を」という目的語が入っているので、他動詞の「読み終えたい」「読み切りたい」を使うのが適切です。
個人的に「読み切りたい」の方がよく使うのでそちらで修正しましたがどちらでも大丈夫です。

【襲いきて】
現代文では使わない表現です。意味が通じにくいです。
「襲ってきて」が一般的な表現です。

【瞼が重くて】
瞼が重い状態に既になっているという意味です。
眠気がきて瞼が重い状態に変化したという意味で使う時は「瞼が重くなって」を使います。「なる」「なって」は、その状態に変化する事を意味します。

【うっかり】
伝えたい意味は十分理解できます。
ただし、不注意で、失敗して、というニュアンスを含みます。
自分の趣味で本を読む、ことに対して使うのは本来の意味からすると少し違和感があります。
下記なら大丈夫です。
・徹夜でテスト勉強をする予定だったが、うっかり寝てしまった。
・今日中に借りた本を読まなければいけなかったが、うっかり寝てしまい読めなかった。
→どちらも、やらなければならないのにできなかったら→失敗した、というニュアンスです。
この様な使い方なら大丈夫です。

【寝ってしまった】
「寝る」の活用形にこの様な使い方はありません。
「寝てしまった」が正しいです。
または「眠る」であれば「眠ってしまった」と活用できます。