吾輩は投げ出されては這い上り、這い上っては投げ出され、何でも同じ事を四五遍繰り返したのを記憶している。その時におさんと云う者はつくづくいやになった とはどういう意味ですか?

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First, you can see that these two sentences are monologue of "我輩".
If the second sentence is described from objective viewpoint, it does not use "云う者" and would goes その時におさんはつくづく（彼のことを）いやになった。

Next, if you would like to tell that おさん dislikes about 我輩, you should say like this. その時におさんと云う者はつくづく（我輩のことを）いやになったのだろう。
Because 我輩 is not おさん and wouldn’t know how おさん feel about him, you have to change the end of the sentence into a guessing form. (I don’t know the grammatical term. Sorry.)